以下是常見的一些邏輯和規律：
抽象邏輯：
深入研究命題邏輯和謂詞邏輯，包括邏輯證明的技術和邏輯係統的構建。
集合論：
深入探討集合論的公理係統，如ZFC（Zermelo-Fraenkel集合論帶選擇公理）。
模型論：
研究數學模型的邏輯結構，包括模型的存在性、唯一性和完備性。
證明論：
研究數學證明的本質，包括證明的構建、證明的複雜性和證明的自動化。
代數結構：
群、環、域的深入研究，包括Galois理論、Lie群和代數幾何。
拓撲學：
研究空間的性質，如連通性、緊致性、度量空間和流形。
實分析和複分析：
深入研究極限、連續性、可微性、可積性以及複數域上的分析。
泛函分析：
研究無窮維空間中的函數及其性質，包括Banach空間、Hilbert空間和算子理論。
概率論和隨機過程：
深入研究隨機變量、隨機過程、測度論和隨機分析。
數值分析：
高級數值方法，如數值優化、數值線性代數和數值解偏微分方程。
微分幾何：
研究流形、切向量、餘切向量、聯絡和黎曼幾何。
代數幾何：
使用代數方法研究幾何對象，包括代數曲線和代數簇。
偏微分方程：
研究偏微分方程的解法、性質和應用，如橢圓型、雙曲型和拋物型方程。
動力係統：
研究動態係統的長期行為，包括穩定性、分岔和混沌理論。
優化理論：
線性和非線性規劃，包括對偶理論和KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件。
圖論和組合數學：
高級圖論主題，如圖著色、網絡流、代數圖論和Ramsey理論。
數論：
研究整數的性質，包括代數數論、解析數論和幾何數論。
計算數學：
研究數學問題的算法和計算方法，包括符號計算和數值算法。
數學物理：
應用數學方法研究物理問題，如廣義相對論、量子力學和場論。
經典力學：
拉格朗日力學和哈密頓力學，分析力學的應用，包括約束動力學和運動穩定性。
量子力學：
波函數、薛定諤方程、海森堡不確定性原理、量子態的疊加和糾纏。
統計力學：
微觀與宏觀狀態的統計描述，包括玻爾茲曼分布、費米-狄拉克分布和玻色-愛因斯坦分布。
熱力學與動力學：
熱力學第一定律和第二定律的深入探討，包括熵的概念和熱力學循環。
電磁學：
麥克斯韋方程組、電磁波的傳播、電磁場在物質中的相互作用。
光學：
光的波動性質、幹涉、衍射、偏振以及幾何光學。
固體物理學：
晶格振動、固體的電子理論、能帶結構和半導體物理。
原子與分子物理學：
原子結構、分子軌道理論、激光光譜學和分子動力學。
粒子物理學：
基本粒子、標準模型、粒子的相互作用和宇宙學。
廣義相對論：
彎曲時空、引力波、黑洞和宇宙學。
量子場論：
量子化的場、費曼圖、規範對稱性和重整化。
核物理學：
核力、核結構、放射性衰變、核反應和核裂變與聚變。
天體物理學：
恒星結構、星係形成、宇宙背景輻射和宇宙大尺度結構。
計算物理學：
數值模擬、計算流體動力學、蒙特卡洛方法和分子動力學模擬。
非線性動力學與混沌理論：
非線性係統的穩定性、分岔理論、混沌現象和複雜係統。