對空間可視化者來說，幾乎任何以計算、計分和概率評估為基礎的運動或遊戲都可以作為教學工具。一個很好的例子就是國際象棋
。下國際象棋就是一個動態的數學思考過程。想象有一個班級的小學生在玩了近一年的國際象棋（在有指導的情況下）後參加數學考試。這正是丹麥研究人員邁克爾·羅斯霍爾姆（Michael Rosholm）及其同事所做的一項實驗。他們將一至三年級共482名學生每周4節數學課中的1節改為了國際象棋課。結果學習國際象棋的學生的數學成績普遍有所提高。對其中一些孩子來說，國際象棋顯然是他們掌握數學知識的一種途徑。佩佩·昆卡（Pepe ca）是一位擁有應用數學博士學位的專業國際象棋手。他認為國際象棋可以促進人們掌握計算、視覺記憶、空間推理、預判過程、預測後果以及幾何學的能力。但是，國際象棋對某一類孩子來說毫無幫助。我肯定屬於玩不了國際象棋的一類學生。對像我一樣的對象可視化者來說，我們無法記住過於抽象的模式，盡管我們可以很容易地想象出建築物改造後的樣子。如前所述，如果找不到相關的視覺對應物，我是無法真正理解它的。因此，我們需要多種方法來為不同的人群提供發展技能的匝道。
無論你屬於什麼類型的學習者，問題的關鍵還在於大腦的發育程度。兒童的認知能力究竟在什麼時候發展到可以應對複雜抽象的推理呢？皮亞傑認為，兒童要到11
～12歲才會具備邏輯推理的能力。薩格勒布大學的安娜·蘇沙茨（Ana Sušac）及其同事提出，從具體思維到抽象思維的轉變發生在青春期後期，因為與抽象的數學推理相關的前額葉皮質在這一階段才會發育得更加成熟。他們的研究至少表明，如果我們過早過快地教授代數，那麼孩子從具體思維轉向抽象推理的道路反而會被拉長。換句話說，它不是你在七、八年級銜接的那個夏天就可以打開的開關。堪薩斯大學的一位研究人員提出，我們可以通過實際操作的經驗來發展抽象推理的能力。這一點恰好是保留和開展課外活動的一個有力論據。
阿巴拉契亞州立大學的教授、研究員特蕾西·古德森-埃斯皮（Tracy Goodson-Espy）問道：“為什麼一個求解者可以用算術方法解決問題，卻不能用代數方法來思考問題呢？”她的研究包含9項學習任務，而且具體問題都來自現實世界。一如唐納森使用泰迪熊，古德森-埃斯皮從汽車租賃、員工福利等日常生活場景中提取示例，讓受試者理解這些問題出現的情景及意義。她先對每位學生解決問題的內在過程予以評估，而後通過廣泛的采訪和錄像來跟蹤記錄他們解決問題的心路曆程。受試者最終可以被歸為三類：第一類，使用不基於圖像的算術方法的學生；第
二類，依賴圖表方法的學生；第三類，使用代數方法的學生。古德森-埃斯皮的研究清楚地表明了每一組學生解決問題的方法，但是沒有說明背後的原因。
我對古德森-埃斯皮研究發現的理解是：第一類，不使用任何視覺工具的語言思維者；第二類，將問題轉化為視覺圖表，但是同我一樣無法實現代數飛躍的對象可視化者；第三類，使用代數方法的空間可視化者。古德森-埃斯皮最後總結指出，學生要想成功地從算數過渡到代數，就需要具備反思抽象能力。“圖像化或意象化，”古德森-埃斯皮寫道，“是從一個層次的反思抽象發展到另一個層次的反思抽象的內在要素。”這就是視覺思維。
然而，現有的數學教育一直采用的是抽象法。唐納森使用“脫離”一詞來描述這種毫無情景或直接經驗基礎的教學方式。她寫道，抽象能力“成了我們學習數學、科學、哲學的基礎。與人類的其他技能和品質相比，我們可能過於重視它們。我們不大可能會放棄它們，因為我們已經對之過度依賴”。唐納森接著指出，現有的教育體係在獎勵掌握抽象能力者的同時，也讓其他人產生了強烈的挫敗感。事實證明，這種挫敗感遠比我想象的更為普遍。
2019年的全國教育進步評估（也被稱作“國家成績單”）顯示，“十二年級（即高中畢業
班）的學生中，隻有37%的人具備了大學入門課程所需的數學技能”。教育評估國家委員會主席戴維·德裏斯科爾（David Driscoll）在介紹這一令人沮喪的數字時說：“這顯然是不可接受的……我們眼睜睜地看著我們的孩子正在失去機會……我們理應讓他們達到更高的標準。”然而，更高的標準很可能意味著用“填鴨式”（bubble f illing）的教育取代獲得實際生活經驗的機會。
奧巴馬政府當年推出了“力爭上遊”（Race to the Top）的基金支持計劃。它旨在通過發放43.5億美元的獎金促進從幼兒園到高中的學生的創新能力和學業成績。即便如此，美國理工科教育的前景依舊暗淡。克裏斯托弗·德魯（Christopher Drew）在《紐約時報》上發表了一篇題為《為什麼理工科學生會改變他們的想法》（“Why Sce Majors ge Their Minds”）的文章。他在文中寫道：“大一新生不得不跋山涉水，步履艱難地穿過微積分、物理和化學的暴風雪。他們中的很多人就這樣被淘汰了。”有40%的工程學和科學專業學生申請轉專業或退學。如果將醫學預科班的人數再算進來，那麼這個百分比就會提升至60%
，“是所有其他專業學生流失率的兩倍”。人們引述伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校工程學名譽教授戴維·E.戈德堡（David E.Goldberg）的原話，將整個教育體係稱為“數學和科學的死亡行軍”。
而後，每隔三年，一份名為《國際學生能力評估計劃》（PISA）的報告就會像彗星過境一樣突然衝擊美國人的認知。盡管一些教育工作者和政策製定者認為這個評估項目存在巨大缺陷，但是有關它的新聞標題總會引發震動，譬如《美國學生的數學成績爛透了》《刻不容緩》。2018年，來自全球79個國家和地區的60萬名學生參加了一項時長兩小時的測試。這項測試旨在評估學生解決問題而非死記硬背的能力。它就像是中等教育的奧運會。美國從未在這一測試中奪得過金銀銅牌。事實上，如果它真的是奧運會，美國甚至連參賽資格都沒有。在數學方麵，美國學生的表現不及其他發達國家的同齡人，甚至比不上發展中國家的同齡人。在最近的國際學生能力評估計劃測試中，中國學生的數學和科學成績最好，且遙遙領先。
2016年，阿曼達·裏普利（Amanda Ripley）在《紐約時報》發表了一篇題為《美國可以從其他國家的智能學校中學到什麼》（“What America
Learn from Smart Schools in Other tries”）的文章。她寫道：“目前，國際學生能力評估計劃測試揭示了有關美國教育體係的殘酷真相，那就是數學作為一門能夠可靠預測孩子未來收入的學科，一直都是美國各個收入水平階層的短板。”裏普利總結指出，有將近1/3的15歲學生無法達到數學的“基本能力水平”。
在這些報告出爐之後，有一種趨勢是繼續使用與之前同樣的方法來解決問題。學生數學成績越不理想，數學學習時間就越長，考試次數也就越多。這就是過去20年來的荒謬邏輯。
1983年，發展心理學家霍華德·加德納（Hard-ner）出版了他頗具影響力的著作《智能的結構：多元智能理論》（Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligence）。他的理論源於他對患有腦損傷的兒童和成人的研究工作。這些人遭受損傷後的能力和缺陷為研究提供了豐富的背景和土壤。加德納還觀察到沒有兩個人具有相同的智力，哪怕是雙胞胎。然而，我們對人的測試卻是統一化、標準化的。對那些個人優勢同測試方法不合拍的人來說，結果自然是不利的。目前的測試方法更偏
向具有數學和語言優勢的人。
加德納查閱了有關大腦、人類發展、進化和跨文化比較的研究成果，進而提出了自己的八大智能類別：音樂智能、邏輯-數學智能、語言智能、空間智能、人際智能、自我認知智能、博物學家智能和身體-動覺智能。他敦促我們，要擴展我們對智能的定義。“對我們來說，至關重要的是認識和培養人類不同的智能以及它們的各種組合。我們之所以會如此不同就是因為我們擁有的智能組合不同。”他希望我們停止用同一標準去評估不同的孩子，並且找到新的切入點來幫助他們。即使有人堅持要教授代數，他也表示，“教授的方法可以有3種，甚或30種”。盡管加德納沒有將視覺思維者（更不要說不同類型的視覺思維者）視為獨立的智能類別，但是我和他一樣都認為我們的教育係統未能認識到存在著不同的智能類型。“如何將教育個性化，使每個人都能充分發揮出自己的潛能，至今仍然是個謎。”他寫道。但是，他確信，“我們不能再浪費人才了”。
學習的快與慢
我8歲時依然不能閱讀。如果我繼續在學校裏讀“迪克和簡”#pageNote#2，繼續看圖識字，很難講我還要在閱讀上掙紮多久。好在我的老師和媽媽在我三年級時製訂了一個計劃，讓我在家跟著媽媽學習閱讀。因為她幾乎每天都會給我和姐姐讀書
，所以我的積極性很高。她有時會給我們讀查爾斯·狄更斯的作品《霧都孤兒》中的段落。我記得奧利弗住在一個救濟院裏，他想要得到更多食物的那個段落至今讓我難以忘懷。
每天下午放學後，我的媽媽都會花一個小時教我自然拚讀法，教我將聲音和字母對應起來，讓我能夠“讀出”音節。我們不再讀“迪克和簡”，轉而讀起了《綠野仙蹤》。她會先讀一段，而後在精彩的地方停下來，激發起我想要接著往下聽的強烈興趣。在繼續閱讀之前，媽媽一開始會要求我將她貼在牆上的每一個字母大聲讀出來。再後來她讓我拚讀出一個詞、兩個詞、三個詞，以此類推。漸漸地，她讀得越來越少，而我能讀出來的完整句子越來越多。自然拚讀法、一對一的輔導以及母親選擇的那些讓我著迷的故事都是我學會閱讀的關鍵。就在幾個月之內，我的閱讀水平突飛猛進，一下子躍升到了六年級的水平。我想如果沒有媽媽的這種幹預，我在學校的學習將一敗塗地。
媽媽教我閱讀的過程實際上相當於為我創建了一個個性化的教育計劃。這類計劃的目的是給在公立學校就學的殘障兒童提供特殊幫助。當我上學時，國家還沒有提供這類特殊服務。我所得到的特殊幫助和強化輔導都來自我的母親。我上高中時，傳統的學校教育對我來說簡直就是一場
災難。我在學校備受欺淩與嘲笑。我的父母有能力讓我入讀一所專門為有學習障礙的孩子開設的寄宿學校。可是，我並不開心。後來事實證明，那是對我一生影響至深的經曆之一。其中，有兩件事尤為重要：首先，我遇到了一位特別好的科學老師；其次，我學會了如何照顧學校的馬匹。我也因此找到了畢生的追求，並培養出了強烈的職業道德感。
在一篇題為《孤獨症兒童麵臨被低估的風險》（“Autistic Children at Risk of Being Uimated”）的論文中，瓦萊麗·庫爾謝納（Valérie Coure）及其同事重點研究了語言能力較弱的孤獨症兒童的認知能力。通過使用兒童嵌入式圖形測試（Children''s Embedded Figures Test），研究人員對30位語言能力低下的孤獨症兒童和一組年齡相當的對照組兒童進行了4項獨立的認知和智力評估。雖然孤獨症兒童中沒有人能夠完成標準的智力測驗（韋氏智力測驗），但他們中有26人完成了嵌入式圖形測試，而且比對照組的孩子完成得更快。勞倫特·莫特龍在《自然》雜誌上發文稱，孤獨症患者大腦中的視覺處理網絡比語言處理網絡更活躍。他寫道：“這種大腦功
能的重新分配可能與卓越表現有關。”
我們麵對的挑戰在於如何為視覺思維者提供一個有效的評估和教育體係。問題是數學成績不好的孩子在現有體係中可能被低估了，我們因此正在失去他們擁有的且我們需要的技能。有一些孩子可能會選擇在家求學。這也是孤獨症家庭時常會問及的一個問題。
根據美國國家教育統計中心（NCES）的數據，大約有177萬名美國兒童在家接受教育。其中，16%的兒童有特殊需求。選擇讓孩子在家求學的常見原因包括學校霸淩、孩子的行為管理問題、孩子的幸福感和健康發展以及對學校支持力度的不滿意。然而，選擇讓孩子在家求學並不是任何人都可以輕易做出的決定，因為它通常會給整個家庭帶來巨大壓力。在之後有關神經多樣性的章節中，我會談及在家接受教育的托馬斯·愛迪生。那是一個浪漫美好的故事。愛迪生的母親曾是一名老師。她為愛迪生提供了各種合適的書籍來點燃他傑出的機械才能。這樣的故事其實鳳毛麟角。愛迪生的故事本身可能也有杜撰的成分。很多父母經常問我有關家庭教育的事情。問題是如果我對一個孩子不夠了解，說實話，我就無法提供任何建議。我也一直強調如果選擇讓孩子在家求學，那麼一定要確保孩子有機會與其他孩子接觸、互動。許多孩子在家
求學的家庭會形成一個彼此互動的群體，父母也會從中受益。俗話說，“養育一個孩子需要一個村莊的力量”，而養育一個患有孤獨症的孩子則需要整個社區的支持。
為特定大腦和學習方式找到正確的切入口可以改變遊戲規則。清晰寫作對我來說是一大挑戰。我成長的時代所采用的很多教學方法是毫無意義且令人費解的，譬如圖解句子。然而到了九年級，我的寫作能力比我現在指導的研究生都要好。寫作對我而言就是用文字將我在腦海中看到的畫麵描述出來。我有三種提高寫作的方法：第一，大聲朗讀，感覺用詞是否準確；第二，仔細留意老師的批注和語法修改；第三，寫讀書報告，學習如何抓住文章重點。我所掌握的寫作技巧讓我發表了早期的論文，這些論文又讓我找到了工作。我現在所寫的文章大多是為了傳遞技術或實用信息。縱觀我的職業生涯，我已經發表了100多篇科學期刊文章，出版了8部著作，其中2部為專著，6部為合著。
那麼，為什麼我的很多學生，無論是碩士研究生還是博士研究生，都無法用清晰的語言闡述他們的研究方法和結果呢？今天，當我回顧他們所接受的基礎教育時，我發現如果少強調考試，轉而加強基礎數學和語法，那麼他們會更順利地踏上職業之路。
我們的學校教育同時還有另一種
篩選淘汰的機製，即標準化的課程設置。它假定所有的學生都會勻速發展，即使對一些孩子來說，學校的課程不具有挑戰性。這些孩子的父母發現老師還是堅持讓孩子囿於所謂適合他們年齡階段的學習材料。許多父母出於社交和個人發展的考慮，或者因擔心他們逼得太緊而讓孩子太辛苦，不願意讓孩子加速學習。1989年，誇張的情景喜劇《天才小醫生》（Doogie Howser , M.D.）就將這種兩難困境表現得淋漓盡致。主角是一名年僅14歲便從普林斯頓大學和醫學院畢業的天才少年。這位天才小醫生在治療病人和處理粉刺之間找到了平衡。
正是由於來自學校的阻力和父母的擔憂，全美國隻有1%的學生有過跳級或跳科經曆，盡管有研究表明適當的加速學習是有益的。格雷戈裏·帕克（Gregory Park）及其同事在《教育心理學期刊》（Journal of Educational Psychology）上發表了一篇題為《當少即是多時》（“When Less Is More”）的文章。他們指出，加速學習的學生從長遠來看要優於沒有加速學習的同齡人，他們更有可能獲得高學位、出版著作，在理工科領域獲得專利並擁有成功的事業發展。
一方麵，我們正在將不擅長數
學的孩子淘汰出局；另一方麵，我擔心我們也正在阻礙在數學或其他科目上有天分的孩子往前發展，因為我們沒有進一步挖掘和提升他們的潛力。解決方案之一就是讓擁有明確熱情和能力的孩子根據自身優勢積極發展。讓我們以凱瑟琳·約翰遜（Katherine Johnson）令人難以置信的故事為例。她第一次引起公眾關注是因為根據其經曆創作的非虛構類文學作品《隱藏人物》（Hidden Figures）及其同名電影。凱瑟琳從小喜歡數數、計算，後來愛上了計算機。她上小學時，老師就發現了她的過人之處，並讓她成功跳級。她10歲入讀高中，15歲進入西弗吉尼亞州立大學並在18歲時以優異的成績畢業。上大學期間，她選修了每一門數學課。畢業後，凱瑟琳成為一名教師，這在當時是為數不多的黑人女性可以從事的工作之一。
當美國國家航空航天局（NASA）因人才需求而向女性勞動力敞開大門時，凱瑟琳的天分獲得了被檢驗的機會。在種族主義和性別歧視普遍存在的20世紀50年代，她作為一名黑人女性開始在美國國家航空航天局工作。當時，女性被戲稱為“穿裙子的計算機”，而黑人員工則從工作區域到餐廳再到浴室都被區別對待。然而，在計算機發展到足以處理複雜計算之前，
凱瑟琳以其驚人的數學計算能力使載人航天成為可能。她計算出了“水星號”和“阿波羅號”太空艙的軌道和再入路徑。她的計算確保了宇航員能夠安全返回。我能想象得出來，當凱瑟琳·約翰遜計算軌道路徑時，她在自己聰明的頭腦中看到了多維模式。
我們阻止明顯超出同齡人水平的學生加速學習能有什麼好處呢？如果我們形成一種慣例，讓熱愛數學的學生增加課程或去當地大學上課，又會發生什麼？比爾·蓋茨、史蒂夫·喬布斯、馬克·紮克伯格和埃隆·馬斯克都是從大學或研究生院輟學的學生。他們熱切地想要在市場上檢驗和應用他們卓爾不群的能力。他們都直奔矽穀。不過，對喬布斯來說，促使他退學的一個因素是不想去上自己不感興趣的課程。我敢打賭，對他們中的任何一個人來說，學校提供的課程都不夠具有挑戰性。
考試陷阱
“這個會考嗎？”全世界的學生都在問。這也是我作為一名教授最感困擾的一個問題。你幾乎都能聽到他們內心的關門聲，就好像所有不會考的內容都是不值得花心思的多餘之物。我們是如何培養出了將學習等同於考試的一代人的？學習理應是為了學生日後的生活和事業做好準備的。
在我開設的牲畜處理課上，有一個作業是繪製比例圖。與10年前相比，越來越多的學生覺得太難。他們中的一些
人竟然從未接觸過如何用尺子量東西。他們有時也會質疑做這個作業的必要性。我對他們說如果你們將來去買沙發，那麼你至少需要測量沙發的大小來看它是否適合家裏的客廳。
一味強調考試和考試成績讓我們陷入了不幸之地，大家偷工減料、作弊成風，同時還伴有強烈的挫敗感。哈佛大學教育研究生院的丹尼爾·科雷茨（Daniel Koretz）教授表示，考試更多展示的是學生群體之間的不平等而非他們所掌握的知識技能。過去30年來，科雷茨一直對考試係統多有詬病。他在《考試遊戲：假裝讓學校變得更好》（The Testing Charade:Pretending to Make Schools Better）一書中指出了教育工作者在學生考試成績不達標的情況下將會麵臨怎樣的風險。一如之前的討論，提高學生應試成績的壓力影響了老師們的授課方式，隨之而來的危害也是巨大的：老師浪費了寶貴的時間為了考試而教學，隨著提高分數的壓力越來越大，一整套受到侵蝕的教育理念開始滲透教學課堂。非營利組織“公平考試”（FairTest）的公共教育主管鮑勃·謝弗（Bob Schaeffer）曾親眼見證了對考試成績的過分強調導致的各種作弊行為，包括冒名頂替、假
裝身體殘疾以便獲得額外的答題時間、付錢請人代考、賄賂監考人員等。
不過，與震驚全美國的舞弊醜聞相比，這些不過是小巫見大巫。兩位知名美國女演員因巨額賄賂女兒的教練以操縱女兒的大學申請成績而被指控並入獄服刑。另外還有超過50份起訴書被送到了公司首席執行官、房地產開發商和標準化考試官員的手中。科雷茨認為，作弊無處不在。在解釋背後的原因時，他提到了坎貝爾定律。這一定律認為，任何用於做出社會決策的指標都會被想要影響這些決策的人破壞。
今天，美國入讀大學的學生比例接近70%，自1975年以來有了大幅提升。它聽上去是個好消息，但是平均隻有41%的學生能在4年後順利畢業。埃倫·拉佩爾·謝爾（Ellen Ruppel Shell）在《紐約時報》上發表了一篇題為《大學可能不再值得》（“College May Not Be Worth It Anymore”）的文章。謝爾表示，在美國高等教育的成本中，學生貸款已達到了驚人的1.3萬億美元。這個數字在過去10年內翻了一番多。她同時指出，僅有40%的大學輟學生的收入略高於高中畢業生，勉強可以支撐他們償還大學債務。她寫道：“我們似乎正在接近一個時代，一個即使對出身於中產階
級家庭的學生來說大學學位的經濟收益也將日漸萎縮的時代。”謝爾還在文章中引用了一個令人意想不到的統計數據：“25%的大學畢業生的收入水平不高於普通高中畢業生的收入水平。”
20世紀20年代發展起來的美國學業能力傾向測試（Scholastic Aptituole Test，以下簡稱SAT）最初隻是智商測驗的一個延伸。它於1926年首次亮相，旨在測試大學申請者的學習能力並將評估方式標準化。幾十年來，盡管有人指責SAT存在文化偏見，它依然廣受歡迎。如今，SAT已經變成了一門大生意。每年有數百萬學生參加SAT，其產生的收益占據美國大學理事會每年10億美元收入的一大部分。如今有充分的證據表明SAT歧視有色人種和低收入家庭的孩子，不僅僅是因為文化偏見，更是因為這些孩子的家庭無法負擔輔導費用。在SAT的帶動下，應試培訓業得到了蓬勃發展。斯坦利·卡普蘭（Stanley Kaplan）於1938年首次在位於紐約市布魯克林區的一間地下室裏開始輔導學生參加SAT。大學的預科業務到今天業已發展為一個價值11億美元的產業。當然，它的服務對象僅針對那些可以支付得起費用的人。